Question

设函数f(x)=

a

2

x2+

x+1

ex

-1(e为自然对数的底数）．
（1）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（2）求证：对于大于1的正整数n，恒有1+

1

n

＜

n	e

＜1+

1

n-1

成立．

Answer 1

分析：（1）x≥0时，f（x）≥0恒成立，故可求出函数在x≥0上的最小值，令最小值大于等于0，从而得到关于参数的不等式，解出a的取值范围；
（2）借助（1）的证明结论，对于x∈（0，1），当a=0时，f（x）＜0，所以x+1＜e^x，当a=2时，f（x）＞0，所以ex＜

1

1-x

，得出，x+1＜e^x＜

1

1-x

．再将x替换为

1

n

即可得到1+

1

n

＜

n	e

＜1+

1

n-1

解答：解：（1）f′(x)=ax-

x

ex

=x(a-

1

ex

)，
]∵x≥0，
∴e^x≥1，0＜

1

ex

≤1．
①若a≤0，则当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，而f（0）=0，
从而当x＞0时，f（x）＜0，不合题意，应舍去．
②若0＜a＜1，则当x∈（0，-lna）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，而f（0）=0，
从而当x∈（0，-lna）时，f（x）＜0，不合题意，应舍去．
③若a≥1，则当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，而f（0）=0，
从而当x＞0时，f（x）＞0，所以当x≥0时，f（x）≥0恒成立．
综上，a的取值范围为[1，+∞）．
（2）证明：由（1）知，对于x∈（0，1），当a=0时，f（x）＜0，所以x+1＜e^x，
而当a=2时，f（x）＞0，所以ex＜

1

1-x

，
从而x∈（0，1）时，x+1＜e^x＜

1

1-x

．
取x=

1

n

(n≥2)，则1+

1

n

＜

n	e

＜

1

1- 1 n

=

n

n-1

=1+

1

n-1

．

点评：本题考查不等式的证明，及利用函数的最值建立不等式求参数的范围，本题解题的关键是联想（1）的结论与（2）要证明的不等式间的关系，丰富的数学联想能力是数学顺利解题的基本素养，也是开拓数学新领域必备的素养，本题第一位研究函数的最值用到了导数，导数研究函数的单调性是导数的重要运用，解题时要注意总结用导数研究函数单调性的步骤，本题考查了推理论证能力及数学的想像能力