Question

（2007•长宁区一模）设函数f(x)=

a2-x2

|x+a|+a

．（a∈R且a≠0）
（1）分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性．
（2）在a∈R且a≠0的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．

Answer 1

分析：（1）判断函数的奇偶性，首先要判断函数的定义域，若定义域关于原点对称，则判断f（-x）与f（x）的关系，若f（-x）=f（x），则函数f（x）是偶函数，若f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数．
（2）首先对a进行分类讨论：当a＞0时，f（x）为非奇非偶函数；当a＜0时，f（x）为奇函数．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=

1-x2

|x+1|+1

，由1-x²≥0，
∴-1≤x≤1．所以f(x)=

1-x2

x+2

∵f(

1

2

)=

3

5

，f(-

1

2

)=

3

3

，∴f(

1

2

)≠f(-

1

2

)，f(

1

2

)≠-f(-

1

2

)，
∴f（x）为非奇非偶函数．                                     （4分）
（如举其他的反例同样给分）
当a=-2时，f(x)=

4-x2

|x-2|-2

，由4-x²≥0，得-2≤x≤2，
所以f(x)=

4-x2

-x

，x∈[-2，0）∪（0，2]，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．（4分）
（2）当a＞0时，f（x）为非奇非偶函数；当a＜0时，f（x）为奇函数．（2分）a＞0时，由a²-x²≥0，得-a≤x≤a，
∴f(x)=

a2-x2

x+2a

，可以验证：对任意的a＞0，f(

a

2

)≠f(-

a

2

)，f(-

a

2

)≠-f(

a

2

)，
∴f（x）为非奇非偶函数．（如举其他的反例同样给分）                               （3分）
a＜0时，由a²-x²≥0，得a≤x≤-a，∴f(x)=

a2-x2

-x

，x∈[a，0)∪(0，-a]，
并且对定义域中任意的x，f（-x）=-f（x）成立，∴f（x）为奇函数．（3分）

点评：本题主要考查了函数的两大基本性质之一的函数的奇偶性．用定义判断函数的奇偶性主要两个基本步骤，第一步判断函数的定义域是否关于原点对称，第二步判断f（-x）与f（x）的关系．本题属于中档题目．