Question

2．已知圆C的半径为3，圆心在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为2$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过定点为P（0，-3）的直线l，使得以l被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长，再由圆心到x轴的距离，求出圆心C（1，-2），从而可得圆C的方程；
（2）设l的方程y=kx-3，以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，联立直线方程与圆的方程，由△＞0恒成立，利用方程的根与系数的关系代入x₁x₂+y₁y₂=0，可求k，从而求出直线方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意设圆心的坐标为C（a，-2a），
则圆的方程为（x-a）²+（y+2a）²=9；
作CA⊥x轴于点A，在Rt△ABC中，CB=3，AB=$\sqrt{5}$，∴CA=2，
∴|-2a|=2，解得a=±1；
又∵因为点C在x轴的下方，所以a=1，即C（1，-2）
所以圆方程为：（x-1）²+（y+2）²=9
（Ⅱ）设l的方程y=kx-3，以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁x₂+y₁y₂=0      ①
将直线方程y=kx-3代入圆的方程（x-1）²+（y+2）²=9，
得（k²+1）x²-2（k+1）x-7=0，
要使方程有两个相异实根，则
△=4（k+1）²+28（k²+1）＞0恒成立，
则x₁+x₂=$\frac{2（k+1）}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{-7}{{k}^{2}+1}$，
y₁=kx₁-3，y₂=kx₂-3，代入x₁x₂+y₁y₂=0，得（k²+1）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=0
即有-7-3k•$\frac{2（k+1）}{{k}^{2}+1}$+9=0，
即2k²+3k-1=0，
解得k=$\frac{-3+\sqrt{13}}{4}$或k=$\frac{-3-\sqrt{13}}{4}$，
故存在直线l满足条件，且方程为y=$\frac{-3+\sqrt{13}}{4}$x-3或y=$\frac{-3-\sqrt{13}}{4}$x-3．

点评 本题主要考查了直线与圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于基本知识的综合应用