Question

过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁．又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂…．依此下去，得到一系列点M₁，M₂，…，M_n，…，设它们的横坐标a₁，a₂，…，a_n，…，构成数列{a_n}．（a₁≠0）．
（1）求证数列{a_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）求证：an≥1+

n

k+1

；
（3）若k=2，记bn=

n

i=0

(-1)i

a

2 n-i

C

i 2n-i+1

，求b₂₀₁₀．

Answer 1

分析：（1）要证数列{a_n}是等比数列，只需利用已知条件证明

an

an-1

=

k

k-1

是常数即可，利用通项公式的求法直接求其通项公式；
（2）要证an≥1+

n

k+1

，先验证n=1然后利用二项式定理，采用放缩法证明即可．
（3）若k=2，记bn=

n

i=0

(-1)i

a

2 n-i

C

i 2n-i+1

，求出b_n=2b_n-1-b_n-2，解得b_n=n+1，然后求b₂₀₁₀．

解答：解：（1）对y=x^k求导数，得y^/=kx^k-1，切点是M_n（a_n，a_n^k）的切线方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．
当n=1时，切线过点P（1，0），即0-a₁^k=ka₁^k-1（x-a₁），得a₁=

k

k-1

，
当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），得

an

an-1

=

k

k-1

，
所以数列{a_n}是首项a₁=

k

k-1

，公比为

k

k-1

的等比数列，且通项公式为an=(

k

k-1

)n．
（2）当n=1时，a₁=

k

k-1

=1+

1

k-1

，当n≥2时，应用二项式定理，an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n=

C

0 n

+

C

1 n

1

k-1

+

C

2 n

(

1

k-1

)2++

C

n n

(

1

k-1

)n≥1+

n

k-1

．
（3）a_n=2ⁿ，b_n=

n

i=0

(-1)i22n-2i

C

i 2n-i+1

，设cn=

n

i=0

(-1)i22n-2i

C

i 2n-1

，
则b_n=2²ⁿ+

n

i=1

(-1)i22n-2i(

C

1 2n-1

+

C

i-1 2n-1

)=

n

i=0

(-1)i22n-2i

C

i 2n-1

-

n-1

j=0

(-1)j22(n-1)-2j

C	j 2(n-1)-j+1

=c_n-b_n-1．
同理c_n=2²ⁿ+

n-1

i=1

(-1)i22n-2i(

C

i 2n-i-1

+

C	i-1 2n-i-1

)+(-1)n=

n-1

i=0

(-1)i22n-2i

C

i 2n-i-1

+

n

i=1

(-1)i22n-2i

C

i 2n-i-1

+

n

i=1

(-1)i22n-2i

C	i-1 2n-i-1

=4

n-1

i=0

(-1)i22(n-1)-2i

C	i 2(n-1)-i+1

-

n-1

k=0

(-1)k22(n-1)-2k

C	k 2(n-1)-k

=4b_n-1-C_n-1．
∴b_n+b_n-1=c_n=4b_n-1-c_n-1=4b_n-1-b_n-1-b_n-2，即b_n=2b_n-1-b_n-2，∴b_n-b_n-1=b_n-1-b_n-2═b₁-b₀=2-1=1，
故b_n=n+1，∴b₂₀₁₀=2011．

点评：本题是中档题，考查数列的通项公式的求法，数列的证明，数列的化简与构造法的应用，是本题解题的关键，注意二项式定理的应用．