Question

设△ABC重心为G，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a

GA

+

3

5

b

GB

+

3

7

c

GC

=

0

，则∠C=

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：△ABC重心为G，可得

GA

+

GB

+

GC

=

0

，代入a

GA

+

3

5

b

GB

+

3

7

c

GC

=

0

，整理为(

3

5

b-a)

GB

=(a-

3

7

c)

GC

．由G为△ABC重心，可知：

GB

与

GC

不可能共线．可得

3

5

b-a=a-

3

7

c=0，再利用余弦定理即可得出．

解答： 解：∵△ABC重心为G，
∴

GA

+

GB

+

GC

=

0

，
∴

GA

=-(

GB

+

GC

)，
∵a

GA

+

3

5

b

GB

+

3

7

c

GC

=

0

，
∴-a(

GB

+

GC

)+

3

5

b

GB

+

3

7

c

GC

=

0

，
化为(

3

5

b-a)

GB

=(a-

3

7

c)

GC

，
∵G为△ABC重心，
∴

GB

与

GC

不可能共线．
∴

3

5

b-a=a-

3

7

c=0，
∴a=

3

7

c，b=

5

7

c．
由余弦定理可得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

( 3 7 c)2+( 5 7 c)2-c2

2× 3 7 c× 5 7 c

=-

1

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

2π

3

．
故答案为：

2π

3

．

点评：本题考查了三角形重心性质、余弦定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．