Question

椭圆

x2

4

+y2=1两个焦点分别是F₁，F₂，点P是椭圆上任意一点，则

PF1

•

PF2

的取值范围是（　　）

• A、[1，4]
• B、[1，3]
• C、[-2，1]
• D、[-1，1]

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆的焦点坐标，设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．利用向量的数量积运算和余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：椭圆的焦点坐标F₁（

3

，0），F₂（-

3

，0）．
设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．
∴

PF1

•

PF2

═（-

3

-2cosθ，-sinθ）•（

3

-2cosθ，-sinθ）=4cos²θ-3+sin²θ=3cos²θ-2，
∵0≤cos²θ≤1，
∴-2≤3cos²θ-2≤1．
即

PF1

•

PF2

的最大值与最小值分别是1，-2．
故选：C．

点评：本题考查了椭圆的标准方程与性质、向量的数量积运算、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．