Question

已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且?x₁，x₂∈R，总有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立．
（Ⅰ）记g（x）=f（x）+1，求证：g（x）是奇函数；
（Ⅱ）对?n∈N^*，有a_n=

1

f(n)

，b_n=f（

1

2n+1

）+1，记c_n=

bn

an

，求{c_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）求F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n（n≥2，n∈N）的最小值．

Answer 1

考点：数列的应用,函数单调性的判断与证明,抽象函数及其应用,数列的求和

专题：函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）令x₁=x₂=0得f（0）=-1，再令x₁=x，x₂=-x，得g（x）=f（x）+1是奇函数．
（2）令x₁=n，x₂=1，得f（n）=2n-1，从而c_n=

bn

an

=(2n-1)

1

2n

，计算即可．
（3）通过计算可知F（n+1）＞F（n），又n≥2，从而得出结果．

解答： 解：（1）证明：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
令x₁=x₂=0得f（0）=-1，
再令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1．
故f（-x）+1=-[f（x）+1]，从而g（x）=f（x）+1是奇函数；
（2）令x₁=n，x₂=1，得f（n+1）=f（n）+2，
故f（n）=2n-1，
从而an=

1

2n-1

，bn=2×

1

2n+1

-1+1=

1

2n

，
又c_n=

bn

an

=(2n-1)

1

2n

，
S_n=Tn=1×

1

2

+3×

1

22

+…+(2n-1)

1

2n

①

1

2

Sn=

1

2

Tn=1×

1

22

+3×

1

23

+…+(2n-1)

1

2n+1

②
由①-②得S_n=Tn=3-

2n+3

2n

；
（3）∵F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1
=

1

(4n+1)(4n+3)(2n+1)

＞0
∴F（n+1）＞F（n）．
又n≥2，
故F（n）的最小值为F(2)=a3+a4=

12

35

．

点评：本题考查抽象函数的奇偶性，以及数列的求和，需要一定的计算能力，属于中档题．