Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使得平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′C的中点．

（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；
（Ⅱ）求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取A'D的中点M，连接 FM，EM，由已知得四边形BFME为平行四边形，由此能证明BF∥平面A'DE．
（Ⅱ）在平面BCDE内作BN⊥DE，交DE的延长线于点N，则BN⊥平面A'DE，连接A'N，∠BA'N为A'B与平面A'DE所成的角，由此能求出直线A'B与平面A'DE所成角的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：取A'D的中点M，连接 FM，EM．
∵F为A'C中点，∴FM∥CD且FM=

1

2

CD…（2分）
∴BE∥FM且BE=FM，
∴四边形BFME为平行四边形．…（4分）
∴BF∥EM，
又EM⊆平面A'DE，BF?平面A'DE，
∴BF∥平面A'DE…（6分）
（Ⅱ）解：在平面BCDE内作BN⊥DE，交DE的延长线于点N，
∵平面A'DE⊥平面BCDE，平面A'DE∩平面BCDE=DE，
∴BN⊥平面A'DE，连接A'N，
则∠BA'N为A'B与平面A'DE所成的角，…（8分）
∵△BNE∽△DAEBE=1，

AE

AD

=

EN

BN

=

1

2

，
∴BN=

2 5

5

，EN=

5

5

…（10分）
在△A'DE中作A'P⊥DE垂足为P，∵A'E=1，A'D=2，
∴A′P=

2 5

5

，∵EP=

5

5

，∴在直角△A'PN中，PN=

2 5

5

，
又A′P=

2 5

5

，
∴A′N=

2 10

5

…（14分）
∴在直角△A'BN中，tan∠BA′N=

BN

A′N

=

2

2

，
∴直线A'B与平面A'DE所成角的正切值为

2

2

．…（15分）

点评：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．