Question

平面直角坐标系xOy中，椭圆Σ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，焦点为F₁、F₂，
直线l：x+y-2=0经过焦点F₂，并与Σ相交于A、B两点．
（1）求的方程；
（2）在上是否存在C、D两点，满足CD∥AB，F₁C=F₁D？若存在，求直线CD的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：方程思想,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据题意求出焦点F₂的坐标，的c的值，利用离心率e求出a、b的值；
（2）（方法一）假设存在满足条件的直线CD，由直线CD的方程与椭圆方程联立，消去y，得方程①，计算△＞0；
再由F₁C=F₁D，E为CD的中点，推导出△＜0，从而得出结论．
（方法二）设出C、D以及线段CD的中点E的坐标，利用差值法求出中点满足的关系式，
再由F₁C=F₁D，得出直线CD的方程，它与椭圆方程联立，判断方程组是否有解即可．

解答： 解：（1）∵直线l：x+y-2=0经过焦点F₂，
∴F₂（2，0），即c=2；
又e=

c

a

=

6

3

，∴a=

6

；
∴b=

a2-c2

=

2

，
∴椭圆∑的方程为

x2

6

+

y2

2

=1；

（2）（方法一）若存在满足条件的直线CD，
∵CD∥AB，∴k_CD=k_AB=-1，
设直线CD的方程为y=-x+m，
由

x2 6 + y2 2 =1 y=-x+m

，
得x²+3（-x+m）²-6=0； 
即4x²-6mx+（3m²-6）=0，
∴△=（-6m）²-4×4（3m²-6）=96-12m²＞0；（*）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

3m

2

，x₁x₂=

3m2-6

4

；
由已知F₁C=F₁D，若线段CD的中点为E，则F₁E⊥CD，
∴kF1E=-

1

kCD

=1；
F₁（-2，0），E（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），即E（

3m

4

，

m

4

）； 
由kF1E=

m 4

3m 4 +2

=1，
解得m=-4； 
当m=-4时，96-12m²=-96＜0，这与（*）矛盾，
∴不存在满足条件的直线CD． 
（方法二）假设存在C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），且线段CD的中点为E（x₀，y₀），
则x₀=

x1+x2

2

，y₀=

y1+y2

2

，

y1-y2

x1-x2

=-1； 
由

x12 6 + y12 2 =1 x22 6 + y22 2 =1

，两式相减得：

1

6

（x₁-x₂）（x₁+x₂）+

1

2

（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
代入、化简得：

1

3

x₀-y₀=0，①
由已知F₁C=F₁D，则F₁E⊥CD，
∴kF1E=-

1

kCD

=1；
由kF1E=

y0

x0+2

=1，得y₀=x₀+2，②
由①②解得x₀=-3，y₀=-1，
即E（-3，-1）
直线CD的方程为：y=-（x+4），
联立方程组

x2 6 + y2 2 =1 y=-x-4

，
消去y得4x²+24x+42=0，
∵△=24²-4×4×42=-96＜0，
∴方程（组）无解，即不存在满足条件的直线CD．

点评：本题考查了求椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合应用问题，也考查了根与系数的关系应用问题，考查了方程组的解法与应用问题，是综合性题目．