Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（Ⅰ）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若二面角M-BQ-C大小为60°，求QM的长．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由题意易证QB⊥AD，由面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，由此能证明平面MQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）求出平面BQC的法向量和平面MBQ法向量，结合题意可得λ的方程，解方程可得λ，可得QM的长．

解答： 解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ
又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD． 
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则Q（0，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0），P（0，0，

3

），
∵M是PC中点，∴M（-

1

2

，

3

2

，

3

2

），
∴

BM

=（-

1

2

，-

3

2

，

3

2

），

QP

=（0，0，

3

），

QC

=（-1，

3

，0），
设

QM

=λ

QP

+(1-λ)

QC

，
∵0≤λ≤1，∴

QM

=(λ-1，

3

(1-λ)，

3

λ)，

QB

=（0，

3

，0），
设平面BQM的法向量

m

=（x，y，z），
则

m • QB = 3 y=0 m • QM =(λ-1)x+ 3 (1-λ)y+ 3 λz=0

，
取x=

3

，得平面MBQ法向量为

m

=（

3

，0，

1-λ

λ

），
平面BQC的法向量为

n

=（0，0，1），
∵二面角M-BQ-C为60°，∴cos60°=

| n • m |

| n |•| m |

=

1-λ λ

3+( 1-λ λ )2

=

1

2

，
∴解得λ=

1

2

，∴

QM

=（-

1

2

，

3

2

，

3

2

），
|

QM

|=

1 4 + 3 4 + 3 4

=

7

2

．

点评：本题考查面面垂直的证明，考查使得二面为60°的线段长的求法，考查向量法在立体几何中的应用，考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．