Question

如图，正方体的棱长为，分别为棱上的点，给出下列命题：
①在平面内总存在与直线平行的直线；
②若平面，则与的长度之和为；
③存在点使二面角的大小为；
④记与平面所成的角为，与平面所成的角为，则的大小与点的位置无关.
其中真命题的序号是      ▲     ． （写出所有真命题的序号）

Answer 1

②④．

当与重合，与重合时，可得即垂直于面即，命题①不正确；
在上取一点使得，连接，可得四边形为平行四边形，所以。因为面，所以面，则，从而可得，所以。从而有，所以，命题②正确；
连接，设交点为，连接。由对称可得，所以是二面角的平面角。设，则。由余弦定理可得，。记，则，则在区间上单调递增，所以，所以不存在点使得二面角的大小为，命题③不正确；
因为，所以与平面所成角等于与平面所成角。过点分别作。因为面，所以，从而有面，面，则分别是与平面所成角，从而有，所以恒为定值，，命题④正确。