Question

某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费用第一年是0.2万元，第二年是0.4万元，第三年是0.6万元，…，以后逐年递增0.2万元．汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用．设这种汽车使用x（x∈N^*）年的维修费用为g（x），年平均费用为f（x）．
（1）求出函数g（x），f（x）的解析式；
（2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）根据年维修费用第一年是0.2万元，第二年是0.4万元，第三年是0.6万元，…，以后逐年递增0.2万元，组成一等差数列，故可得使用x年的维修总费用函数g（x）的解析式；根据年平均费用的定义可得函数f（x）的解析式；
（2）利用基本不等式，即可求年平均费用最小．

解答：解：（1）由题意知，年维修费用第一年是0.2万元，第二年是0.4万元，第三年是0.6万元，…，以后逐年递增0.2万元，组成一等差数列，所以使用x年的维修总费用为g（x）=

x(0.2+0.2x)

2

=0.1x+0.1x2万元------（3分）
依题得f(x)=

1

x

[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=

1

x

(10+x+0.1x2)--------（6分）
（2）f（x）=

10

x

+

x

10

+1≥2

10 x • x 10

+1=3------------（8分）
当且仅当

10

x

=

x

10

即x=10时取等号-----------（10分）
∴x=10时y取得最小值3 万元
答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3万元．-----（12分）

点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，解题的关键是正确构建函数，属于中档题．