Question

下列命题成立的是

①③④

． （写出所有正确命题的序号）．
①a，bc∈R，a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
②当x＞0时，函数f(x)=

1

x2

+2x≥2

1 x2 •2x

=2

2 x

，∴当且仅当x²=2x即x=2时f（x）取最小值；
③当x＞1时，

x2-x+4

x-1

≥5；
④当x＞0时，x+

1

x

+

1

x+ 1 x

的最小值为

5

2

．

Answer 1

分析：①由（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，展开得即可判断出；
②当x＞0时，变形利用均值不等式可得f(x)=

1

x2

+2x=

1

x2

+x+x≥3

3	1 x2 •x•x

，即可判断出；
③当x＞1时，变形利用基本不等式可得

x2-x+4

x-1

=x+

4

x-1

=(x-1)+

4

x-1

+1≥2

(x-1)• 4 x-1

+1，即可判断出；
④当x＞0时，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=1时取等号，令x+

1

x

=t≥2，x+

1

x

+

1

x+ 1 x

=t+

1

t

，令f（t）=t+

1

t

，（t≥2）．利用导数判断函数f（t）在[2，+∞）上单调性即可．

解答：解：①由（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，展开得a²+b²+c²≥ab+bc+ac，故正确；
②当x＞0时，f(x)=

1

x2

+2x=

1

x2

+x+x≥3

3	1 x2 •x•x

=3，当且仅当x=1时取等号，∴f（x）最小值为3，故不正确；
③当x＞1时，

x2-x+4

x-1

=x+

4

x-1

=(x-1)+

4

x-1

+1≥2

(x-1)• 4 x-1

+1=5，当且仅当x=3时取等号，∴最小值为5，正确；
④当x＞0时，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=1时取等号，令x+

1

x

=t≥2，x+

1

x

+

1

x+ 1 x

=t+

1

t

，
令f（t）=t+

1

t

，（t≥2）．则f′（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＞0，∴函数f（t）在[2，+∞）上单调递增，∴f（t）≥f（2）=

5

2

．
故x+

1

x

+

1

x+ 1 x

的最小值为

5

2

，因此正确．
综上可知：只有①③④正确．
故答案为①③④．

点评：本题综合考查了变形利用基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性、换元法等基础知识与基本技能方法，属于中档题．