Question

抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=

8 6

11

．
（1）求抛物线的方程；
（2）在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设所求抛物线的方程为y²=2px，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得P值，从而解决问题．
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x轴上存在满足条件的点C（x₀，0），再利用△ABC为正三角形，求出CD的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）设所求抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
由

y2=2px x+y-1=0

消去y，
得x²-2（1+p）x+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2（1+p），
x₁•x₂=1．∵|AB|=

8 6

11

，
∴

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8 6

11

，
∴121p²+242p-48=0，
∴p=

2

11

或-

24

11

（舍）．
∴抛物线的方程为y²=

4

11

x．

（2）设AB的中点为D，则D(

13

11

，-

2

11

)．
假设x轴上存在满足条件的点C（x₀，0），∵△ABC为正三角形，
∴CD⊥AB，∴x₀=

15

11

．
∴C（

15

11

，0），∴|CD|=

2 2

11

．
又∵|CD|=

3

2

|AB|=

12 2

11

，
故矛盾，∴x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与圆锥曲线的综合问题，属于基础题．突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法．