Question

已知椭圆 

x2

a2

+

y2

b2

=1过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线|y|=x的交点为B、C．现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足 

2

3

＜e2＜1时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：由椭圆过定点A（1，0），知a=1 ， c=

1-b2

，e=

1-b2

，由

2

3

＜e2＜1，知0＜b＜

3

3

．由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y=x（x≥0）的交点，就必过椭圆与射线y=-x（x≥0）的交点．由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：∵椭圆 

x2

a2

+

y2

b2

=1过定点A（1，0），
∴a=1 ， c=

1-b2

，e=

1-b2

，
∵

2

3

＜e2＜1，∴

2

3

＜1-b2＜1，
∴0＜b＜

3

3

．
由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y=x（x≥0）的交点，就必过椭圆与射线y=-x（x≥0）的交点．
联立方程 

y=x (x≥0) x2+ y2 b2 =1

，
解得 x=y=

b

1+b2

．
∵0＜b＜

3

3

，
∴0＜x＜

1

2

．
设抛物线方程为：y²=-2p（x-m），p＞0，m＞1．
∵

p

2

=m-1，
∴y²=4（1-m）（x-m）①
把 y=x，0＜x＜

1

2

代入①，
得x²+4（m-1）x-4m（m-1）=0，m＞1．
令f（x）=x²+4（m-1）x-4m（m-1），m＞1，
∵f（x）在(0 ， 

1

2

)内有根且单调递增，
∴

f(0)=-4m(m-1)＜0 f( 1 2 )= 1 4 +2(m-1)-4m(m-1)＞0

即

m＞1 或 m＜0 3- 2 4 ＜ m ＜ 3+ 2 4

综上得实数m的取值范围：{m|1＜m＜

3+ 2

4

}．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．