Question

【题目】已知函数f(x)＝ax2－(a2＋b)x＋aln x(a，b∈R)．

(Ⅰ)当b＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)当a＝－1，b＝0时，证明：f(x)＋ex>－x2－x＋1(其中e为自然对数的底数)

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析: （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）法一：问题转化为证明ex﹣lnx﹣1＞0，设g（x）=ex﹣lnx﹣1（x＞0），问题转化为证明x＞0，g（x）＞0，根据函数的单调性证明即可；

法二：问题转化为证明x﹣1≥lnx（x＞0），令h（x）=x﹣1﹣lnx（x＞0），根据函数的单调性证明即可．

试题解析：

(Ⅰ)当b＝1时，f(x)＝ax2－(1＋a2)x＋aln x，

f′(x)＝ax－(1＋a2)＋＝.

讨论：1°当a≤0时，x－a>0， >0，ax－1<0f′(x)<0，

此时函数f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间.

2°当a>0时，令f′(x)＝0x＝或a，

①当＝a(a>0)，即a＝1时， 此时f′(x)＝≥0(x>0)，

此时函数f(x)单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；

②当0<<a ，即a>1时，此时在和(a，＋∞)上函数f′(x)>0，

在上函数f′(x)<0，此时函数f(x)单调递增区间为和(a，＋∞)；

单调递减区间为；

③当0<a<，即0<a<1时，此时函数f(x)单调递增区间为(0，a)和；

单调递减区间为

(Ⅱ)证明：(法一)当a＝－1，b＝0时，f(x)＋ex>－x2－x＋1，

只需证明：ex－ln x－1>0，设g(x)＝ex－ln x－1(x>0)，

问题转化为证明x>0，g(x)>0.

令g′(x)＝ex－， g″(x)＝ex＋>0，

∴g′(x)＝ex－为(0，＋∞)上的增函数，且g′＝－2<0，g′(1)＝e－1>0，

∴存在惟一的x0∈，使得g′(x0)＝0，ex0＝，

∴g(x)在(0，x0)上递减，在(x0，＋∞)上递增.

∴g(x)min＝g(x0)＝ex0－ln x0－1＝＋x0－1≥2－1＝1，

∴g(x)min>0∴不等式得证.

(法二)先证：x－1≥ln x(x>0)

令h(x)＝x－1－ln x(x>0)，∴h′(x)＝1－＝＝0x＝1，

∴h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.

∴h(x)min＝h(1)＝0，∴h(x)≥h(1)x－1≥ln x．

∴1＋ln x≤1＋x－1＝xln(1＋x)≤x，

∴eln(1＋x)≤ex，1

∴ex≥x＋1>x≥1＋ln x，∴ex>1＋ln x，

故ex－ln x－1>0，证毕.