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    已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．
    （1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
    （2）若a≠-1时，直线y=x-1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=数学公式，求曲线C的方程．

    解：（1）当a＜0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；…（1分）
    当a=0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=-1；…（1分）
    当0＜a＜1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆； …（1分）
    当a=1时，曲线C的轨迹是圆 x2+y2=1； …（1分）
    当a＞1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆． …（1分）
    （2）由，得（a+1）x2-2ax+a-1=0…①…（2分）
    因为a≠-1，所以方程①为一元二次方程，△=4a2-4（a+1）（a-1）=4＞0，所以直线l与曲线C必有两个交点． …（1分）
    设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2为方程①的两根，所以x1+x2=，x1x2=，…（1分）
    所以|MN|=|x1-x2|=×=，…（2分）
    所以a2+2a-3=0，解得a=1或a=-3． …（2分）
    因此曲线C的方程为x2+y2=1或x2-3y2=1． …（1分）
    分析：（1）对a进行讨论，分a＜0，a=0，0＜a＜1，a=1，a＞1时，可得曲线C所表示的轨迹形状；
    （2）直线与曲线联立，确定直线l与曲线C必有两个交点，利用韦达定理及|MN|=，即可求曲线C的方程．
    点评：本题考查分类讨论的数学思想，考查直线与曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确分类是关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知曲线C的方程为
    x=8t2
    y=8t
    (t    为参数），过点F（2，0）作一条倾斜角为
    π
    4
    的直线交曲线C于A、B两点，则AB的长度为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知曲线C参数方程为
    x=2cosθ
    y=sinθ
    ，θ∈[0，2π)    ，极点O与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．圆T的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ+4=r2，曲线C与圆T交于点M与点N．
    （Ⅰ）求曲线C的普通方程与圆T直角坐标方程；
    （Ⅱ）求
    TM
    •
    TN
    的最小值，并求此时圆T的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•嘉定区一模）已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．
    （1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
    （2）若a≠-1时，直线y=x-1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=
    		2
    ，求曲线C的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知曲线C的方程为kx2+（4-k）y2=k+1（k∈R）．
    （1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
    （2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；
    （3）满足（2）的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：海门市模拟 题型：填空题

    已知曲线C的方程为
    x=8t2
    y=8t
    (t    为参数），过点F（2，0）作一条倾斜角为
    π
    4
    的直线交曲线C于A、B两点，则AB的长度为______．

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