Question

（2011•嘉定区一模）已知曲线C的方程为x²+ay²=1（a∈R）．
（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（2）若a≠-1时，直线y=x-1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=

2

，求曲线C的方程．

Answer 1

分析：（1）对a进行讨论，分a＜0，a=0，0＜a＜1，a=1，a＞1时，可得曲线C所表示的轨迹形状；
（2）直线与曲线联立，确定直线l与曲线C必有两个交点，利用韦达定理及|MN|=

2

，即可求曲线C的方程．

解答：解：（1）当a＜0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；…（1分）
当a=0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=-1；…（1分）
当0＜a＜1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆；  …（1分）
当a=1时，曲线C的轨迹是圆 x²+y²=1；          …（1分）
当a＞1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆．      …（1分）
（2）由

y=x-1 x2+ay2=1

，得（a+1）x²-2ax+a-1=0…①…（2分）
因为a≠-1，所以方程①为一元二次方程，△=4a²-4（a+1）（a-1）=4＞0，所以直线l与曲线C必有两个交点．       …（1分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程①的两根，所以x₁+x₂=

2a

a+1

，x₁x₂=

a-1

a+1

，…（1分）
所以|MN|=

2

|x₁-x₂|=

2

×

( 2a a+1 )2-4× a-1 a+1

=

2

，…（2分）
所以a²+2a-3=0，解得a=1或a=-3．   …（2分）
因此曲线C的方程为x²+y²=1或x²-3y²=1．   …（1分）

点评：本题考查分类讨论的数学思想，考查直线与曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确分类是关键．