Question

（本小题共12分） 在平面直角坐标系中,已知A_n(n,a_n)、B_n(n,b_n)、C_n(n-1,0)(n∈N*)，满足向量与向量共线，且点A_n(n,a_n) (n∈N*)都在斜率为2的同一条直线l上. 若a₁=-3，b₁=10　（1）求数列{a_n}与{ b_n }的通项公式；

（2）求当n取何值时△A_nB_nC_n的面积S_n最小，并求出S_n的这个最小值。 

Answer 1

(Ⅰ)   b_n= n²-6n+15 (Ⅱ) n=4  S_n的最小值为2

解析:

（1）∵点A_n(n,a_n) (n∈N*)都在斜率为2的同一条直线上，[来源:学§科§网Z§X§X§K]

∴=2，即a_n+1-a_n=2,

于是数列{a_n}是公差为2的等差数列，又a₁=-3，故a_n= -3+2(n-1)=2n-5.

∵共线.

∴1×(-a_n)-(-1)(b_n+1 - b_n )=0,即b_n+1-b_n=a_n

∴当n≥2时，b_n=b₁+(b₂-b₁)+(b₃-b₂)+ …+(b_n-b_n-1)

=b₁+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1

=10+ (n-1)(n-5)=n²-6n+15

当n=1时，上式也成立.。 所以b_n= n²-6n+15

（2）显然，直线A_nB_n⊥x轴，点C_n到直线A_nB_n的距离等于1.

所以S_n=[来源:Zxxk.Com]

∴当n=4时，S_n取最小值，S_n的最小值为2.