Question

（06年江西卷理）（12分）

已知函数f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c²恒成立，求c的取值范围。

Answer 1

解析：（1）f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c，f¢（x）＝3x²＋2ax＋b

由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得

a＝，b＝－2

f¢（x）＝3x²－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（－¥，－）	－	（－，1）	1	（1，＋¥）
f¢（x）	＋	0	－	0	＋
f（x）	­	极大值	¯	极小值	­

所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥）

递减区间是（－，1）

（2）f（x）＝x³－x²－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x）<c²（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c²>f（2）＝2＋c

解得c<－1或c>2