Question

已知函数f（x）=ln（x+1），g(x)=

x

x+1

．
（1）求h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）求证：当-1＜x₁＜0＜x₂时，f（x₁）g（x₂）-f（x₂）g（x₁）＞0；
（3）求证：f²（x）-xg（x）≤0恒成立．

Answer 1

（1）h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

，x＞-1，h/(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

，
令h^/（x）＜0，得：-1＜x＜0，则h（x）在（-1，0）上单调递减；
令h^/（x）＞0，得：x＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增．
故增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）．
（2）由（1）知h（x）_min=h（0）=0，
则当x＞-1时f（x）≥g（x）恒成立．f/(x)=

1

x+1

＞0，g/(x)=

1

(x+1)2

＞0，
则f（x）、g（x）在（-1，+∞）上均单调递增．
易知：0＞f（x₁）＞g（x₁），f（x₂）＞g（x₂）＞0，
则-f（x₂）g（x₁）＞-f（x₁）g（x₂），
即：f（x₁）g（x₂）-f（x₂）g（x₁）＞0．
（3）f2(x)-xg(x)=ln2(x+1)-

x2

x+1

，
令F(x)=ln2(x+1)-

x2

x+1

，
则F/(x)=

2ln(x+1)

x+1

-

x2+2x

(x+1)2

=

2(x+1)ln(x+1)-(x2+2x)

(x+1)2

，
令G（x）=2（x+1）ln（x+1）-（x²+2x），
则G^/（x）=2ln（x+1）-2x，
令H（x）=2ln（x+1）-2x，
则H/(x)=

2

x+1

-2=

-2x

x+1

．
当-1＜x＜0时，H^/（x）＞0，则H（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，H^/（x）＜0，则H（x）在（0，+∞）上单调递减，
故H（x）≤H（0）=0，即G^/（x）≤0，
则G（x）在（-1，+∞）上单调递减．
当-1＜x＜0时，G（x）＞G（0）=0，
即F^/（x）＞0，则F（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，G（x）＜G（0）=0，
即F^/（x）＜0，则F（x）在（0，+∞）上单调递减，
故F（x）≤F（0）=0，
即f²（x）-xg（x）≤0．