Question

设命题p：函数f（x）=lg(ax2-x+

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a)的定义域是R；命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切正实数x均成立．
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，若p是真命题，则ax2-x+

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a＞0对任意实数都成立，由此能够求出p是真命题时，实数a的取值范围．
（2）若命题q为真命题时，则3^x-9^x＜a对一切正实数x均成立．由3x-9x=-(3x-

1

2

)2+

1

4

∈（-∞，0），
知q是真命题时，a≥0．再由p或q为真命题，命题p且q为假命题，知

a＞2 a＜0

或

a≤2 a≥0

，能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）由题意，若p是真命题，
则ax2-x+

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a＞0对任意实数都成立，
若a=0，显然不成立；
若a≠0，解得a＞2
故如果p是真命题时，
实数a的取值范围是（2，+∞）
（2）若命题q为真命题时，
则3^x-9^x＜a对一切正实数x均成立．
3x-9x=-(3x-

1

2

)2+

1

4

∵x＞0
∴3^x＞1
∴3^x-9^x∈（-∞，0）
所以如果q是真命题时，a≥0．
又p或q为真命题，命题p且q为假命题
所以命题p与q一真一假
∴

a＞2 a＜0

或

a≤2 a≥0

解得0≤a≤2综上所述，实数a的取值范围是[0，2]

点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意公式的灵活运用．