Question

8．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=3，则$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$=（　　）

• A． 3
• B． -3
• C． $\frac{9}{2}$
• D． -$\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由题意，画出图形，利用向量的平行四边形法则得到对角线长度的关系，求出OC，得到△ABC 的形状即可求得．

解答 解：由平面向量的平行四边形法则得到，在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=3，如图，设|OC|=x，则|OA|=$\sqrt{3}$x，所以|AO|²+|OC|²=|AC|²即3x²+x²=9，解得x=$\frac{3}{2}$，
所以|BC|=3，所以△ABC为等边三角形，所以$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$=3×3×$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$；
故选：C．

点评 本题考查向量加法的平行四边形法则，向量数量积的计算公式；关键是正确判断三角形的形状．