Question

20．已知$\overrightarrow{a}$是直线x+2y+1=0的一个方向向量，$\overrightarrow{b}$=（2，k），且$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，则不等式|x-k|+|$\frac{3}{2}$k-x|＞m²-3m-2恒成立的实数m的取值范围（-1，4）．

Answer 1

分析 求出直线的方向向量$\overrightarrow{a}$，根据$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，得到k=4，结合绝对值不等式的性质将不等式恒成立进行转化求解即可．

解答 解：∵直线x+2y+1=0的斜率k=-$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$是直线x+2y+1=0的一个方向向量，
∴$\overrightarrow{a}$=（1，$-\frac{1}{2}$），
∵$\overrightarrow{b}$=（2，k），且$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2-$\frac{1}{2}$k=0，
解得k=4，
则不等式等价为|x-4|+|6-x|＞m²-3m-2恒成立，
∵|x-4|+|6-x|≥|x-4+6-x|=2，
∴m²-3m-2＜2，
即m²-3m-4＜0，
解得-1＜m＜4，
故答案为：（-1，4）

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，考查直线的方向向量，向量垂直，绝对值不等式的性质以及一元二次不等式的解法，涉及的知识点较多，综合性较强．