Question

已知函数f（x）=log2

x+2a+1

x-3a+1

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；
（3）在（2）的条件下，记f^-1（x）为f（x）的反函数，若关于x的方程f^-1（x）=5k•2^x-5k有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数的定义域，即真数大于零，解含参数的不等式；
（2）利用定义域关于原点对称，求出a的值；然后再看f（x）与 f（-x）的关系，确定函数的奇偶性；
（3）求出函数的反函数，分离参数，转化为求函数的值域．

解答：解：（1）

x+2a+1

x-3a+1

＞0，
所以当a＞0时，定义域为（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）
当a＜0时，定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
当a=0时，定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）（4分）
（2）函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，
当且仅当-2a-1=-（3a-1）?a=2，
此时，f(x)=log2

x+5

x-5

．（6分）
对于定义域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）内任意x，-x∈D，
f(-x)=lg

-x+5

-x-5

=lg

x-5

x+5

=-lg

x+5

x-5

=-f(x)，所以f（x）为奇函数；（8分）
当x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）内单调递减；
由于f（x）为奇函数，所以在（-∞，-5）内单调递减；（10分）
（3）f-1(x)=

5(2x+1)

2x-1

，x≠0  （12分）
方程f^-1（x）=5k?2^x-5k即

2x+1

2x-1

=k(2x-1)，令2^x=t，则t＞0且t≠1，得k=

t+1

(t-1)2

，
又

t+1

(t-1)2

∈(0，+∞)，所以当k＞0，f^-1（x）=5k?2^x-5k解．（14分）

点评：考查了分类讨论的思想方法，换元的思想方法；函数奇偶性的判定；特别注意换元后，新变量的取值范围，属难题．