Question

已知函数，g（x）=ax³+cx²+bx+d都是奇函数，其中a，b，c，d∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求证：g（x）在R上是增函数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）可求c=d=0
由f（1）==2及f（2）=＜3，a，b，c，d∈Z，可求
（2）由（1）可得函数g（x）=x³+x，任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，，利用单调性的定义，只要作差判断g（x₂）＞g（x₁），即可 证明
解答：解：（1）因为函数，g（x）=ax³+cx²+bx+d都是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
∴
解得c=0…（1分）
由g（-x）=-g（x）可得-ax³+cx²-bx+d=-ax³-cx²-bx-d
∴d=0…（2分）
∴，g（x）=ax³+bx
由f（1）==2得a=2b-1，…（3分）
代入f（x）中得，
∵f（2）=＜3，即，
∴，所以b＞0，由此可解得：…（4分）
考虑到a，b，c，d∈Z，所以b=1，所以a=2b-1=1，…（5分）
综上知：a=1，b=1，c=0，d=0．…（6分）
证明（2）∵a=1，b=1，c=0，d=0，所以函数g（x）=x³+x，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，…（1分）

∵x₂-x₁＞0，，（如中间没配方，则-2分）
∴g（x₂）＞g（x₁），
∴g（x）在R上是增函数．…（4分）
点评：本题 主要考查了利用奇函数的定义及函数性质求解函数的解析式，函数的单调性定义在证明中的应用，属于中档试题