Question

如图，椭圆 (a>b>0)的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：上，且椭圆的离心率e =．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN．

Answer 1

（1）；（2）详见解析.

试题分析：（1）根据椭圆的性质，建立方程，即可求得；（2）可以设点P坐标，然后用点P的坐标表示M、N的坐标，进而可以表示、，然后说明即可.
试题解析：（1）依题意，得． ∵，，∴．
∴椭圆的标准方程为
（2）证明：设，，则，且．∵为线段中点，  ∴． 又，∴直线的方程为．令，得． 又，为线段的中点，∴．
当时，，
此时，
∴，不存在，∴．
当时，，
，
∵，∴
综上得.