Question

3．（1）当a＞1时，证明函数y=$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$是奇函数．
（2）设a是实数，f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）．试确定a的值，使f（x）为奇函数．

Answer 1

分析 （1）先判断定义域是否对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，
（2）令f（-x）=-f（x）恒成立解出a．

解答 解；（1）由函数有意义得a^x-1≠0，∴x≠0，关于原点对称．
令f（x）=$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$，则f（-x）=$\frac{{a}^{-x}+1}{{a}^{-x}-1}$=$\frac{1+{a}^{x}}{1-{a}^{x}}$=-f（x），
∴函数y=$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$是奇函数．
（2）若f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是奇函数，则f（-x）=-f（x）恒成立．
∴a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=-a+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，即2a=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+$\frac{2•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=$\frac{2（1+{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=2，
∴a=1．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质及判断，属于基础题．