Question

（2013•惠州模拟）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+

x3

3

-x²-2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=-

1

2

时，方程f（1-x）=

(1-x)3

3

+

b

x

有实根，求实数b的最大值．

Answer 1

分析：（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a
（2）由题意可得f′(x)=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

≥0在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0时，容易检验是否符合题意，②当a≠0时，由题意可得必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，则a＞0，从而2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．考查函数g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），结合二次函数的性质可求
（3）由题意可得lnx-(1-x)2+(1-x)=

b

x

．问题转化为b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
方法1：构造函数g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求
方法2：对函数g（x）=x（lnx+x-x²）求导可得g'（x）=lnx+1+2x-3x²．由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x-3x²，的单调性可求函数g（x）的零点，即g'（x₀）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合g(x)=xlnx+x2-x3=x(lnx+x-x2)≤x(lnx+

1

4

)，可知x→0时，lnx+

1

4

＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值

解答：解：（1）f′(x)=

2a

2ax+1

+x2-2x-2a=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

．…（1分）
因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…（2分）
即

2a

4a+1

-2a=0，解得a=0．…（3分）
又当a=0时，f'（x）=x（x-2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（4分）
（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，
所以f′(x)=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

≥0在区间[3，+∞）上恒成立．…（5分）
①当a=0时，f'（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以fx）在[3，+∞上为增函数，故a=0符合题意．…（6分）
②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，
所以2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．…（7分）
令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），其对称轴为x=1-

1

4a

，…（8分）
因为a＞0所以1-

1

4a

＜1，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，
因为g（3）=-4a²+6a+1≥0，
解得

3- 13

4

≤a≤

3+ 13

4

．…（9分）
因为a＞0，所以0＜a≤

3+ 13

4

．
综上所述，a的取值范围为[0，

3+ 13

4

]．…（10分）
（3）若a=-

1

2

时，方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+x＞0

b

x

可化为，lnx-(1-x)2+(1-x)=

b

x

．
问题转化为b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．…（11分）
以下给出两种求函数g（x）值域的方法：
方法1：因为g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），
则h′(x)=

1

x

+1-2x=

(2x+1)(1-x)

x

，…（12分）
所以当0＜x＜1，h^′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1，h^′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…（13分）
因此h（x）≤h（1）=0．
而，故b=x•h（x）≤0，
因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）
方法2：因为g（x）=x（lnx+x-x²），所以g'（x）=lnx+1+2x-3x²．
设p（x）=lnx+1+2x-3x²，则p′(x)=

1

x

+2-6x=-

6x2-2x-1

x

．
当0＜x＜

1+ 7

6

时，p'（x）＞0，所以p（x）在(0，

1+ 7

6

)上单调递增；
当x＞

1+ 7

6

时，p'（x）＜0，所以p（x）在(

1+ 7

6

，+∞)上单调递减；
因为p（1）=0，故必有p(

1+ 7

6

)＞0，又p(

1

e2

)=-2+1+

2

e2

-

3

e4

＜-

3

e4

＜0，
因此必存在实数x0∈(

1

e2

，

1+ 7

6

)使得g'（x₀）=0，
∴当0＜x＜x₀时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x₀）上单调递减；
当x₀＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（1，+∞）上单调递减；
又因为g(x)=xlnx+x2-x3=x(lnx+x-x2)≤x(lnx+

1

4

)，
当x→0时，lnx+

1

4

＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．
因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）

点评：本题主要考查了利用函数的导数求解函数极值的应用，及利用函数的导数研究函数的单调性及函数的最值的求解，解答本题要求考生具备较强的逻辑推理与运算的能力