Question

17．若函数f（x）=x²的定义域为D，其值域为{0，1，2，3，4，5}，则这样的函数f（x）有243个．（用数字作答）

Answer 1

分析 根据题意，由函数的定义，分别令x²=0、1、2、3、4、5，可得x的值，分析可得函数的定义域D中必须含有0，±1、±$\sqrt{2}$、±$\sqrt{3}$、±2、±$\sqrt{5}$中至少含有1个，分析每一个元素可能的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）=x²的定义域为D，其值域为{0，1，2，3，4，5}，
令x²=0可得x=0，则D中必须有0，有1种情况，
令x²=1可得x=±1，则D中必须包含±1中的至少一个，有3种情况，
令x²=2可得x=±$\sqrt{2}$，则D中必须包含±$\sqrt{2}$中的至少一个，有3种情况，
令x²=3可得x=±$\sqrt{3}$，则D中必须包含±$\sqrt{3}$中的至少一个，有3种情况，
令x²=4可得x=±2，则D中必须包含±2中的至少一个，有3种情况，
令x²=5可得x=±$\sqrt{5}$，则D中必须包含±$\sqrt{5}$中的至少一个，有3种情况，
则函数f（x）的定义域D可能的情况有1×3×3×3×3×3=243种，
即这样的函数f（x）有243个；
故答案为：243．

点评 本题考查排列、组合的应用，涉及函数函数的概念以及构成函数的三要素，根据题意，分析得到f（x）的定义域中包含的元素是解题的关键．