Question

已知抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2），其焦点F在y轴上，直线y=kx+2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程为y=ax²，利用点A（1，2）在抛物线C上，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）把y=kx+2代入y=2x²，利用韦达定理，确定N的坐标，从而可得抛物线在点N处的切线l的方程，进而可证明切线l的与k相等，即可得到结论．

解答： 解：依题意，设抛物线C的方程为y=ax²，
（Ⅰ）∵点A（1，2）在抛物线C上，∴a=1．
∴抛物线C的方程为y=2x²．…（4分）
（Ⅱ）如图，设A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得：2x²-kx-2=0，
由韦达定理得：x₁+x₂=

k

2

，x₁x₂=-1，∴x_N=x_M=

x1+x2

2

=

k

4

，
即N点的坐标为（

k

4

，

k2

8

）．…（8分）
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-

k2

8

=m（x-

k

4

），
将y=2x²代入上式得：2x²-mx+

mk

4

-

k2

8

=0，
∵直线l与抛物线C相切，所以△=m²-8（

mk

4

-

k2

8

）=m²-2mk+k²=（m-k）²=0，
∴m=k，即l∥AB．…（12分）

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查抛物线的切线，属于中档题．