Question

已知A，B分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右顶点，点D(1，

3

2

)在椭圆C上，且直线DA与直线DB的斜率之积为-

b2

4

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，直线AP，PB与椭圆的右准线分别交于点M，N．
①在x轴上是否存在一个定点E，使得EM⊥EN？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由；
②已知常数λ＞0，求

PM

•

PN

+λ

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用直线DA与直线DB的斜率之积为-

b2

4

，可得b2=

9

a2-1

，由点D(1，

3

2

)在椭圆C上，则有：

1

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，联立求出a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）①假设存在一个定点E（m，0），使得EM⊥EN．确定M，N的坐标，若EM⊥EN，则

EM

•

EN

=0，结合点P在椭圆C上，即可求点E的坐标；
②利用向量的数量积公式，可得

PM

•

PN

+λ

PA

•

PB

=

(1+λ)x02-8x0+16-4λ

4

，设函数f(x0)=

(1+λ)x02-8x0+16-4λ

4

，定义域为（-2，2），确定函数的单调性，即可求得结论．

解答： 解：（1）由题意得，A（-a，0），B（a，0），
∵直线DA与直线DB的斜率之积为-

b2

4

，
∴kDA•kDB=

3 2

1+a

•

3 2

1-a

=-

b2

4

，∴b2=

9

a2-1

，
由点D(1，

3

2

)在椭圆C上，则有：

1

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，…（2分）
由以上两式可解得a²=4，b²=3．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．      …（4分）
（2）①椭圆右准线的方程为x=4．                            …（5分）
假设存在一个定点E（m，0），使得EM⊥EN．
设点P（x₀，y₀）（x₀≠±2），直线AP的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)，
令x=4，y=

6y0

x0+2

，∴点M坐标为(4，

6y0

x0+2

)．
直线BP的方程为y=

y0

x0-2

(x-2)，令x=4，y=

2y0

x0-2

，
∴点N坐标为(4，

2y0

x0-2

)．                                    …（7分）
若EM⊥EN，则

EM

•

EN

=0，
∵

EM

=(4-m，

6y0

x0+2

)，

EN

=(4-m，

2y0

x0-2

)，
∴

EM

•

EN

=(4-m)2+

6y0

x0+2

•

2y0

x0-2

=(4-m)2+

12y02

x02-4

=0．        …（9分）
∵点P在椭圆C上，∴

x02

4

+

y02

3

=1，∴y02=3(1-

x02

4

)，代入上式，得（4-m）²=9，
∴m=1或m=7，∴点E的坐标为（1，0）或（7，0）．                  …（11分）
②∵

PM

=(4-x0，

y0(4-x0)

x0+2

)，

PN

=(4-x0，

y0(4-x0)

x0-2

)，
∴

PM

•

PN

=(4-x0)2+

y02(4-x 0)2

x02-4

=

(4-x 0)2

4

．
∵

PA

=(-2-x0，-y0)，

PB

=(2-x0，-y0)，
∴

PA

•

PB

=x02-4+y02=

x 02-4

4

．
∴

PM

•

PN

+λ

PA

•

PB

=

(1+λ)x02-8x0+16-4λ

4

．              …（13分）
设函数f(x0)=

(1+λ)x02-8x0+16-4λ

4

，定义域为（-2，2），
当

4

1+λ

≥2时，即0＜λ≤1时，f（x₀）在（-2，2）上单调递减，f（x₀）的取值范围为（1，9），
当

4

1+λ

＜2时，即λ＞1时，f（x₀）在(-2，

4

1+λ

)上单调递减，在(

4

1+λ

，2)上单调递增，f（x₀）的取值范围为[

-λ2+3λ

1+λ

，9)．
综上，当0＜λ≤1时，

PM

•

PN

+λ

PA

•

PB

的取值范围为（1，9），
当λ＞1时，

PM

•

PN

+λ

PA

•

PB

的取值范围为[

-λ2+3λ

1+λ

，9)．        …（16分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查向量知识的运用，考查函数思想，考查学生分析解决问题的能力，有难度．