Question

已知f（x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

（x∈R，0≤θ≤π）是偶函数．
（Ⅰ）求θ和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，a=5，b=3，f（C）=-1，求c．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）将函数进行化简，利用函数是偶函数即可求θ和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据余弦定理即可求出c的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）
=2sin（2x+θ+

π

3

），
∵f（x）是偶函数，∴θ+

π

3

=

π

2

+kπ，k∈Z
即θ=

π

6

+kπ，
∵0≤θ≤π，
∴当k=0时，θ=

π

6

，
即f（x）=2cos2x，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵f（C）=-1，
∴f（C）=2cos2C=-1，
即cos2C=-

1

2

，
∴2C=

2π

3

，即C=

π

3

，
∵a=5，b=3，
∴c²=a²+b²-2abcosC=25+9-2×5×3×

1

2

=19，
即c=

19

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，注意余弦定理的应用．