Question

已知点A（0，-

3

4

），点B，C分别是x轴和y轴上的动点，且

AB

•

BC

=0，动点P满足

BC

=

1

2

CP

，设动点P的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）点Q（1，a），M，N为曲线E上不同的三点，且QM⊥QN，过M，N两点分别作曲线E的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y），由已知条件推导出

AB

=(-

x

2

，

3

4

)，

BC

=（

x

2

，

y

3

），由此利用

AB

•

BC

=0，能求出曲线E的方程．
（2）设QM的方程为y-1=k（x-1），设M（x1，x12），N（x2，x22），D（x₃，y₃），由已知条件推导出x₁=k-1.x2=-

1

k

-1利用导数性质和点到直线的距离公式能求出|OD|的最小值．

解答： 解：（1）设P（x，y），
∵点B，C分别是x轴和y轴上的动点，动点P满足

BC

=

1

2

CP

，
∴B（-

x

2

，0），C（0，

y

3

），
∵A（0，-

3

4

），∴

AB

=(-

x

2

，

3

4

)，

BC

=（

x

2

，

y

3

），
由

AB

•

BC

=-

x2

4

+

y

4

=0，得x²=y，
∴曲线E的方程为x²=y．…（4分）
（2）∵点Q（1，a）在为x²=y上，∴Q（1，1），
设M（x1，x12），N（x2，x22），D（x₃，y₃），
设QM的方程为y-1=k（x-1），
联立方程

y-1=k(x-1) y=x2

，消去y，得1+x₁=k，
∴x₁=k-1．
同理，设QN的方程为y-1=-

1

k

(x-1)，x2=-

1

k

-1．…（6分）
对函数y=x²求导，得y′=2x，
∴抛物线y=x²在点M处的切线斜率为2x₁，
∴切线MD的方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²．
同理，抛物线y=x²在点N处的切线ND的方程为y=2x₂x-x22．…（8分）
联立两条切线的方程

y=2x1x-x12 y=2x2x-x22

，
解得x3=

x1+x2

2

=

1

2

(k-

1

k

-2)，y₃=x₁x₂=

1

k

-k，
∴点D的坐标为（

1

2

(k-

1

k

-2)，

1

k

-k）．
∴点D在直线2x+y+2=0上．…（10分）
∵点O到直线2x+y+2=0的距离d=

|2•0+0+2|

22+12

=

2 5

5

，
∴|OD|≥

2 5

5

，当且仅当点D（-

4

5

，-

2

5

）时等号成立．
由y3=

1

k

-k=-

2

5

，得k=

1± 26

5

，验证知符合题意．
当k=

1± 26

5

时，|OD|有最小值

2 5

5

．…（12分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查线段最小值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．