Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其短轴长为2，长半轴长a=

∫

3 0

1dx，直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M，N各点均不重合且满足

PM

=λ₁

MQ

，

PN

=λ₂

NQ

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证：λ₁+λ₂=-3是直线l过定点（1，0）的充分条件．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其短轴长为2，推导出b=1，由长半轴长a=

∫

3 0

1dx，求出z，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由题意设P（0，m），Q（x₀，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设l方程为x=t（y-m），由已知条件推导出λ₁=

m

y1

-1，λ₂=

m

y2

-1，由λ₁+λ₂=-3，可得y₁y₂+m（y₁+y₂）=0，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，由此能证明直线l过定点并能求出此定点．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其短轴长为2，
∴b=1，
∵长半轴长a=

∫

3 0

1dx，
∴a=x

|

3 0

=3
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）证明：由题意设P（0，m），Q（x₀，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
设l方程为x=t（y-m），
由

PM

=λ₁

MQ

，知（x₁，y₁-m）=λ₁（x₀-x₁，-y₁）
∴y₁-m=-y₁λ₁，由题意λ₁≠0，∴λ₁=

m

y1

-1，
同理由

PN

=λ₂

NQ

知，λ₂=

m

y2

-1，
∵λ₁+λ₂=-3，∴y₁y₂+m（y₁+y₂）=0（*），（8分）
联立

x2+3y2=3 x=t(y-m)

，得（t²+3）y²-2mt²y+t²m²-3=0，
∴需△=4m²t⁴-4（t²+3）（t²m²-3）＞0（**）
且有y₁+y₂=

2m2

t2+3

，y₁y₂=

t2m2-3

t2+3

（***），（10分）
（***）代入（*）得t²m²-3+m•2mt²=0，∴（mt）²=1，
由题意mt＜0，∴mt=-1（满足（**）），（12分）
得l方程为x=ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点．
∴λ₁+λ₂=-3是直线l过定点（1，0）的充分条件．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意向量知识和等价转化思想的合理运用．