Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，右焦点为F，右顶点A在圆F：（x-1）²+y²=γ²（γ＞0）上．
（Ⅰ）求椭圆C和圆F的方程；
（Ⅱ）已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B，与圆F交于另一点P．请判断是否存在斜率不为0的直线l，使点P恰好为线段AB的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率为

1

2

，右焦点为F（1，0），求出几何量，即可求椭圆C的方程，可得A的坐标，从而可求圆F的方程；
（Ⅱ）假设存在直线l满足题意，则OP⊥AB，由点P是AB中点，可得|OB|=|OA|=2，再求出|OB|²=x₁²+y₁²=3+

x12

4

＜4，这与|OA|=|OB|矛盾，可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得c=1，----------------------------------（1分）
又由题意可得

c

a

=

1

2

，
所以a=2，----------------------------------（2分）
所以b²=a²-c²=3，----------------------------------（3分）
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．---------------------------------（4分）
所以椭圆C的右顶点A（2，0），--------------------------------（5分）
代入圆F的方程，可得r²=1，
所以圆F的方程为：（x-1）²+y²=1．------------------------------（6分）
（Ⅱ）假设存在直线l满足题意．
由（Ⅰ）可得OA是圆F的直径，-----------------------------（7分）
所以OP⊥AB．------------------------------（8分）
由点P是AB中点，可得|OB|=|OA|=2．--------------------------------（9分）
设点B（x₁，y₁），则由题意可得

x12

4

+

y12

3

=1．--------------------------------（10分）
又因为直线l的斜率不为0，所以x12＜4，-------------------------------（11分）
所以|OB|²=x₁²+y₁²=3+

x12

4

＜4，-------------------------------（13分）
这与|OA|=|OB|矛盾，所以不存在满足条件的直线l．--------------------------（14分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查圆的方程，考查圆的性质的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．