Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为

3

5

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为

3

5

，求出a，即可得到椭圆C的方程；
（2）过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线为y=

4

5

（x-3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．

解答： 解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得

16

b2

=1，∴b=4，…（1分）
由e=

c

a

=

3

5

，得1-

16

a2

=

9

25

，∴a=5，…（3分）
∴椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．…（4分）
（2）过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线为y=

4

5

（x-3），…（5分）
设直线与椭圆C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程y=

4

5

（x-3）代入椭圆C方程，整理得x²-3x-8=0，…（7分）
由韦达定理得x₁+x₂=3，
y₁+y₂=

4

5

（x₁-3）+

4

5

（x₂-3）=

4

5

（x₁+x₂）-

24

5

=-

12

5

．…（10分）
由中点坐标公式AB中点横坐标为

3

2

，纵坐标为-

6

5

，
∴所截线段的中点坐标为（

3

2

，-

6

5

）．…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．