Question

已知等差数列{a_n}的公差为2，其前n项和为S_n=pn²+2n，n∈N^*．
（1）求p值及a_n；
（2）在等比数列{b_n}中，b₃=a₁，b₄=a₂+4，若等比数列{b_n}的前n项和为T_n．求证：数列{T_n+

1

6

}为等比数列．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的通项公式，建立方程关系即可求p值及a_n；
（2）根据等比数列的定义建立方程求出通项公式，利用等比数列的定义进行证明即可．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差为2，其前n项和为S_n=pn²+2n，n∈N^*．
∴a₁=S₁=p+2，S₂=4p+4，
即a₁+a₂=4p+4，∴a₂=3p+2，
则a₂-a₁=2p=2，即p=1．
∴a_n=2n+1．n∈N^*．
（2）在等比数列{b_n}中，b₃=a₁=3，b₄=a₂+4=9，
则公比q=

b4

b3

=

9

3

=3，
则b₃=b₁•3²=3，解得b₁=

1

3

，
∴T_n=

1 3 (1-3n)

1-3

=

1

6

(3n-1)，
即T_n+

1

6

=

1

6

•3n，
∴

Tn+ 1 6

Tn-1+ 1 6

=

1 6 •3n

1 6 •3n-1

=3为常数，
∴数列{T_n+

1

6

}为等比数列．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的计算，利用等差数列和等比数列的定义，建立方程组是解决本题的关键．综合性较强．