Question

已知α、β∈（0，

π

2

），且α+β＞

π

2

，f(x)=(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x．
求证：对于x＞0，有f（x）＜2．

Answer 1

分析：通过y=sinx，在(0，

π

2

)上为增函数，y=cosx在(0，

π

2

)上为减函数，利用sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，cosα＜cos(

π

2

-β)=sinβ，推出0＜

cosα

sinβ

 ＜ 1，0＜

cosβ

sinα

 ＜1，得到结果．

解答：证明：∵α+β＞

π

2

，∴α＞

π

2

-β；∵α、β∈（0，

π

2

），

π

2

-β∈(0，

π

2

)；
因为y=sinx，在(0，

π

2

)上为增函数，
y=cosx在(0，

π

2

)上为减函数，
sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，cosα＜cos(

π

2

-β)=sinβ，
又sinα＞0，sinβ＞0，∴0＜

cosα

sinβ

 ＜ 1，0＜

cosβ

sinα

 ＜1，
∵y=a^x，（0＜a＜1）在R上为减函数，且x＞0，∴(

cosα

sinβ

)x＜ 1，(

cosβ

sinα

)x＜1，
从而f(x)=(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x＜2

点评：本题考查三角函数的单调性，诱导公式的应用，考查逻辑推理能力．