Question

如图，A，B是函数y=a^x（a＞1）在y轴右侧图象上的两点，分别过A，B作y轴的垂线与y轴交于E，F两点，与函数y=e^x的图象交于C，D两点，且A是CE的中点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当直线BC与y轴平行时，设B点的横坐标为x，四边形ABDC的面积为f（x），求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的正数b，关于x的不等式

2f(x)

ex-1

＜3exln

xb

em

在区间[1，e]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设A点坐标为（x，a^x），根据A是CE的中点，CE垂直于y轴，可得a^x=e^2x，进而根据指数的运算性质得到a的值；
（Ⅱ）当直线BC与y轴平行时，BC两点的横坐标相等，四边形ABDC为梯形，代入梯形面积公式，可得f（x）的解析式；
（Ⅲ）关于x的不等式

2f(x)

ex-1

＜3exln

xb

em

在区间[1，e]上恒成立，即m＜blnx-

x

2

在区间[1，e]上恒成立，构造函数后，将问题转化为函数的最值问题，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）设A点坐标为（x，a^x），
∵A是CE的中点，
∴C点坐标为（2x，e^2x），
又∵CE垂直于y轴，
∴a^x=e^2x，
即a=e²，…（4分）
（Ⅱ）由已知可设A，B，C，D各点的坐标分别为，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₁），D（x₄，y₂）
当直线BC与y轴平行时，有x₂=x₃=2x₁=x，x₄=2x₂=4x₁=2x，
∴f（x）=

1

2

[（x₃-x₁）+（x₄-x₂）]（y₂-y₁）=

3x

4

（e^x-1）e^x，（x＞0）
（III）若不等式

2f(x)

ex-1

＜3exln

xb

em

在区间[1，e]上恒成立，
则m＜blnx-

x

2

在区间[1，e]上恒成立，
令h（x）=blnx-

x

2

，则h′（x）=

2b-x

2x

（x＞0）
当x∈（0，2b）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数；
当x∈（2b，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数；
（1）当0＜2b≤1，即0＜b≤

1

2

时，h（x）在区间[1，e]上是减函数；
故当x=e时，h（x）取最小值b-

e

2

（2）当1＜2b＜e，即

1

2

＜b＜

e

2

时，h（x）在区间[1，2b]上是增函数，在[2b，e]上是减函数；
又由h（1）=-

1

2

，h（e）=b-

e

2

，h（1）-h（e）=

e

2

-

1

2

-b
故①若

1

2

＜b＜

e

2

-

1

2

，则当x=e时，h（x）取最小值b-

e

2

，
故②若

e

2

-

1

2

＜b＜

e

2

，则当x=1时，h（x）取最小值-

1

2

，
（3）当2b≥e，即b≥

e

2

时，h（x）在区间[1，e]上是增函数；
故当x=1时，h（x）取最小值-

1

2

，
综上区间[1，e]上，h（x）_min=

b- e 2 ，0＜b≤ e 2 - 1 2 - 1 2 ，b＞ e 2 - 1 2

故当0＜b≤

e

2

-

1

2

时，m＜b-

e

2

，当b＞

e

2

-

1

2

时，m＜-

1

2

又∵对任意正实数bm＜blnx-

x

2

在区间[1，e]上恒成立，
故m≤-

e

2

即实数m的取值范围为（-∞，-

e

2

]

点评：本题考查的知识点是利用研究函数的单调性，函数恒成立问题，构造新函数，将恒成立问题转化为求函数最值问题，是解答此类问题的常用方法．