Question

已知

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），M、N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k₁，k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值为1，且椭圆过点（

3

，

1

2

），则椭圆方程为（　　）

• A、

  x2

  2

  +y2=1
• B、x²+

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  4

  +y2=1
• D、

  x2

  6

  +2y2=1

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先把椭圆的方程转化为参数方程，进一步求出直线的斜率，利用最小值确定a和b的关系，最后求出椭圆的方程．

解答： 解：已知

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），M、N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，
设：P（acosα，bsinα），M（a，0），N（-a，0），
直线PM、PN的斜率分别为k₁，k₂（k₁k₂≠0），
则：|k₁|+|k₂|=

bsinα

a(1-cosα)

+

bsinα

a(1+cosα)

=

2bsinα

asin2α

=

2b

asinα

≥

2b

a

，
|k₁|+|k₂|的最小值为1，
所以：

2b

a

=1①
由于椭圆过点（

3

，

1

2

），
所以：

3

a2

+

1 4

b2

=1②
由①②得：椭圆的方程为：

x2

4

+y2=1．
故选：C．

点评：本题考查的知识要点：椭圆的参数式方程的应用，直线的斜率的应用，三角函数的变换，椭圆方程的确定．