Question

19．已知a∈R，直线l₁：（2a+1）x+2y-a+2=0与直线l₂：2x-3ay-3a-5=0垂直．
（1）求a的值；
（2）求以l₁，l₂的交点为圆心，且与直线3x-4y+9=0相切的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）利用两条直线斜率的积为-1，建立方程，即可求a的值；
（2）联立l₁，l₂的方程，得到交点为圆心，求出圆心与直线3x-4y+9=0的距离，可得半径，即可求出圆的方程．

解答 解：（1）直线l₁的斜率为k₁=$-\frac{2a+1}{2}$，…（1分）
当a=0时，直线l₂与x轴垂直，显然不与直线l₁垂直，
∴a≠0，∴直线l₂的斜率为k₂=$\frac{2}{3a}$…（3分）
∵l₁⊥l₂，∴k₁×k₂=-1…（4分）
即$-\frac{2a+1}{2}$×$\frac{2}{3a}$=-1，解得a=1…（6分）
（2）由（1）知，l₁：3x+2y+1=0，l₂：2x-3y-8=0
以上二方程联立$\left\{\begin{array}{l}3x+2y+1=0\\ 2x-3y-8=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$，即圆心坐标为（1，-2）…（8分）
圆心到直线3x-4y+9=0的距离为$\frac{{|3×1-4×（{-2}）+9|}}{{\sqrt{{3^2}+{{（{-4}）}^2}}}}=4$…（10分）
∴圆的半径为4    …（11分）
∴所求圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=4²…（12分）

点评 本题考查直线与直线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．