Question

5．已知函数f（x）=ax³+（2-a）x²-x-1（a＞0）
（1）若f（x）的单调递减区间为（-1，$\frac{1}{3}$），求a的值．
（2）在（1）的条件下，若点A为函数y=f（x）的图象上取得极大值的点，B为y=f（x）图象与y轴的交点，问在函数y=f（x）的图象上是否存在点C使得△ABC是AC为斜边的直角三角形？若存在，求出△ABC的面积．
（3）设x₁，x₂，x₃为关于x的方程f（x）=0的实根，且$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈[$\frac{1}{2}$，2]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，令导函数小于0的解集为单调递减区间；得到-1，$\frac{1}{3}$ 是导函数的两个零点，代入求出a的值；
（2）分别求出A，B的点坐标，求出直线AB的斜率，再根据AC⊥AB得到直线AC的斜率，求出直线AC的方程，与函数f（x）构成方程组，求出点C的坐标，继而求出三角形的面积；
（3）f（x）=（x-1）（ax²+2x+1），f（x）=0有三个根，x₁，x₂，x₃，其中一个根为1，分别讨论，根据函数的性质求出a的取值范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2（2-a）x-1
∵f（x）的单调递减区间为（-1，$\frac{1}{3}$），
∴-1，$\frac{1}{3}$是f′（x）=3ax²+2（2-a）x-1=0的两个根，
∴-1×$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3a}$，
所以a=1，
（2）由（1）得f（x）=x³+x²-x-1，
且f（x）在（-∞，-1）和（$\frac{1}{3}$，+∞）单调递增，在（-1，$\frac{1}{3}$）单调递减，
∴当x=-1时，函数f（x）有极大值，且f（-1）=-1+1+1-1=0，
∴A（-1，0），
当x=0时，f（0）=-1，
∴B（0，-1），
画出函数f（x）的图象，如图所示，
假设存在这样的点C，
∵A（-1，0），B（0，-1），
∴k_AB=-1，
∵AC⊥AB，
∴k_AC=1，
∴过点A的直线方程为y=x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{3}+{x}^{2}-x-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=\sqrt{2}+1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=-\sqrt{2}+1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴C点坐标为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$+1）或（-$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）
∴|AB|=$\sqrt{2}$，|AC|=2+$\sqrt{2}$，|AC₂|=$\sqrt{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×（2+$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$+1，
或S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$
（3）f（x）=ax³+（2-a）x²-x-1=a（x³-x²）+（2x²-x-1）=ax²（x-1）+（x-1）（2x+1）=（x-1）（ax²+2x+1），
∵f（x）=0有三个根，x₁，x₂，x₃，
∴ax²+2x+1=0有两根，
∴△=4-4a≥0，解得a≤1，
①若x₁=1，则$\frac{1}{2}$≤x₂≤2，
即ax²+2x+1=0在[$\frac{1}{2}$，2]上有解，
∴a=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=-（$\frac{1}{x}$+1）²+1，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∵$\frac{1}{2}$≤x≤2，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{x}$≤2，
∴-8≤-（$\frac{1}{x}$+1）²+1≤-$\frac{5}{4}$，
即-8≤a≤-$\frac{5}{4}$，
②若x₂=1，则$\frac{1}{2}$≤x₁≤2，同理可得-8≤a≤-$\frac{5}{4}$，
③若x₃=1，则x₁，x₂是方程ax²+2x+1=0的两根，
设$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=k∈[$\frac{1}{2}$，2]，则x₁=kx₂，
∵x₁+x₂=-$\frac{2}{a}$，x₁x₂=$\frac{1}{a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（k+1）{x}_{2}=-\frac{2}{a}}\\{k{{x}_{2}}^{2}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
消去x₂得$\frac{4}{a}$=$\frac{（k+1）^{2}}{k}$=$\frac{{k}^{2}+2k+1}{k}$=k+$\frac{1}{k}$+2，
设y=k+$\frac{1}{k}$+2，
则y在[$\frac{1}{2}$，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，
当k=1时，有最小值，即为1+1+2=4，
当k=2或k=$\frac{1}{2}$时，有最大值，最大值为2+$\frac{1}{2}$+2=$\frac{9}{2}$，
∴4≤$\frac{4}{a}$≤$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{8}{9}$≤a≤1，
综上所述，a的取值范围为[-8，-$\frac{5}{4}$]∪[$\frac{8}{9}$，1]

点评 本题考查利用导函数求函数的单调区间，函数的极值，直线与直线垂直，直线方程，三角形的面积，方程组的解，属于难题．