Question

20．（1）设函数f（x）满足：2f（x）+x²f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{3x}^{3}{-x}^{2}+4x+3}{x+1}$，求f（x）；
（2）设函数f（x）满足：（x-1）f（$\frac{x+1}{x-1}$）-f（x）=x，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）以$\frac{1}{x}$代替x，得到方程，与已知方程组成方程组，即可求f（x）；
（2）令y=$\frac{x+1}{x-1}$，代入：（x-1）f（$\frac{x+1}{x-1}$）-f（x）=x，得到2f（y）-（y-1）f（$\frac{y+1}{y-1}$）=y+1，x代替y可得2f（x）-（x-1）f（$\frac{x+1}{x-1}$）=x+1，与已知方程组成方程组，即可求f（x）．

解答 解：（1）以$\frac{1}{x}$代替x，代入2f（x）+x²f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{3x}^{3}{-x}^{2}+4x+3}{x+1}$①
可得2f（$\frac{1}{x}$）+（$\frac{1}{x}$）²f（x）=$\frac{3{x}^{3}+4{x}^{2}-x+3}{{x}^{3}+{x}^{2}}$②
①②联立可得f（x）=$\frac{-5{x}^{2}+5x}{3x+3}$；
（2）令y=$\frac{x+1}{x-1}$，则x=$\frac{y+1}{y-1}$，代入：（x-1）f（$\frac{x+1}{x-1}$）-f（x）=x①，
得$\frac{2}{y-1}$f（y）-f（$\frac{y+1}{y-1}$）=$\frac{y+1}{y-1}$，
∴2f（y）-（y-1）f（$\frac{y+1}{y-1}$）=y+1，
x代替y可得2f（x）-（x-1）f（$\frac{x+1}{x-1}$）=x+1②，
①+②得f（x）=2x+1．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查方程组法的运用，属于中档题．