Question

11．已知曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1和C₂：x²-y²=1，且曲线C_l的焦点分别为F₁、F₂，点M是C₁和C₂的一个交点，则△MF₁F₂的形状是（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 直角三角形
• C． 钝角三角形
• D． 都有可能

Answer 1

分析 由已知条件分别求出F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（ $\sqrt{2}$，0），不妨设M（ $\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），分别求出△MF₁F₂的三条边，用勾股定理判断△MF₁F₂的形状．

解答 解：∵曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1的焦点分别为F₁、F₂，
∴F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），
∵点M是C₁和C₂的一个交点，
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1\\{x}^{2}-{y}^{2}=1\end{array}\right.$，得x²=$\frac{3}{2}$，y²=$\frac{1}{2}$，
∴不妨设M（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
则|MF₁|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{6}}{2}{+\sqrt{2}）}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=1+$\sqrt{3}$，
|MF₂|=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{2}）}^{2}+{（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{3}$-1，
|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$，
∵△MF₁F₂的三条边中|F₁F₂|最长，∴∠F₁MF₂最大，
∵（$\sqrt{3}+1$）²+（$\sqrt{3}-1$）²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴△MF₁F₂是直角三角形．
故选：B．

点评 本题考查三角形的形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意勾股定理的合理运用．