Question

6．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，那么下列结论中错误的是（　　）

• A． 若x₀是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x₀）上单调递减
• B． ?x₀∈R，使f（x₀）=0
• C． 函数y=f（x）的图象可以是中心对称图形
• D． 若x₀是f（x）的极值点，则f′（x₀）=0

Answer 1

分析 求导数，f′（x）=3x²+2ax+b，导函数为二次函数，若存在极小值点，根据二次函数的图象便知一定存在极大值点，并且该极大值点在极小值点的左边，从而知道存在实数x₁＜x₀，使f（x）在（-∞，x₁）上单调递增，从而判断出A的结论错误，而根据f（x）的值域便知f（x）和x轴至少一个交点，从而B的结论正确，而a=b=c=0时，f（x）=x³为中心对称图形，从而判断C正确，而根据极值点的定义便知D正确，从而得出结论错误的为A．

解答 解：A．f′（x）=3x²+2ax+b，导函数为二次函数；
∴在极小值点的左边有一个极大值点，即方程f′（x）=0的另一根，设为x₁；
则x₁＜x₀，且x＜x₁时，f′（x）＞0；
即函数f（x）在（-∞，x₁）上单调递增；
∴该选项错误；
B．该函数的值域为（-∞，+∞），∴f（x）的图象和x轴至少一个交点；
∴?x₀∈R，使f（x₀）=0；
∴该选项正确；
C．当a=b=c=0时，f（x）=x³，为奇函数，图象关于原点对称；
∴f（x）是中心对称图形；
∴该选项正确；
D．函数在极值点处的导数为0；
∴该选项正确．
故选：A．

点评 考查极小值点和极大值点的定义，清楚二次函数的图象，知道值域为R的函数的图象和x轴一定有交点，奇函数图象的特点，中心对称图形的定义，以及函数在极值点处导数的取值情况．