Question

15．若双曲线x${\;}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的一条渐近线与圆x${\;}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，2]
• B． [2，+∞）
• C． （1，$\sqrt{3}$]
• D． [$\sqrt{3}，+∞$）

Answer 1

分析 由已知得圆心（0，$\sqrt{3}$）到渐近线y=bx的距离：d=$\frac{|0-\sqrt{3}|}{\sqrt{{b}^{2}+1}}$≥1，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．

解答 解：圆x²+（y-$\sqrt{3}$）²=1的圆心（0，$\sqrt{3}$），半径r=1．
∵双曲线x${\;}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的一条渐近线y=bx与圆x²+（y-$\sqrt{3}$）²=1至多有一个交点，
∴圆心（0，$\sqrt{3}$）到渐近线y=bx的距离：d=$\frac{|0-\sqrt{3}|}{\sqrt{{b}^{2}+1}}$≥1，化为b²≤2．
∴e²=1+b²≤3，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\sqrt{3}$，
∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，$\sqrt{3}$]．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意圆、双曲线的性质的简单运用．