Question

5．求下列函数的最大值和最小值，以及使函数取得这些值的自变量x的值．
（1）y=$\frac{1}{1+co{s}^{2}x}$；
（2）y=$\frac{1}{5si{n}^{2}x+1}$；
（3）y=2-（sinx+1）²．

Answer 1

分析 分别根据三角函数的有界性进行求解即可．

解答 解：（1）∵-1≤cosx≤1，
∴0≤cos²x≤1，
∴当cos²x=0时，即x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，函数y=$\frac{1}{1+co{s}^{2}x}$取得最大值此时y=1；
当cos²x=1时，即x=kπ，k∈Z时，函数y=$\frac{1}{1+co{s}^{2}x}$取得最小值此时y=$\frac{1}{2}$；
（2）∵-1≤sinx≤1，
∴0≤sin²x≤1，
∴当sin²x=0时，即x=kπ，k∈Z时，函数y取得最大值此时y=1；
当sin²x=1时，即kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，函数y取得最小值此时y=$\frac{1}{5+1}$=$\frac{1}{6}$．即x=kπ，k∈Z时，函数y=$\frac{1}{1+co{s}^{2}x}$取得最小值此时y=$\frac{1}{2}$；
（3）∵-1≤sinx≤1，
∴当sinx=-1，即x=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z时，函数取得最大值此时y=2；
当sinx=1，即x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，函数取得最小值此时y=2-4=-2；

点评 本题主要考查函数的最值，利用三角函数的有界性是解决本题的关键．