Question

12．动直线y=kx+1与y轴交于点A，与曲线y²=x-3交于不同的两点B和C，点P在动直线上，且满足$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，其中λ∈R，若D（0，-1），求△DPA的重心Q的轨迹及轨迹方程．

Answer 1

分析 分别设出P、A、B、C的坐标，求出向量的坐标，由向量共线的条件得到坐标关系，联立直线与圆的方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系得到B，C的横坐标的和与积，表示出P点坐标，消去参数k求得P的轨迹，进而可求△DPA的重心Q的轨迹及轨迹方程．

解答 解：设P（x，y），A（0，1），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），
∵$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），
∴x_B=λx_C，x-x_B=λ（x_C-x），
∴x=$\frac{2{x}_{B}{x}_{C}}{{x}_{B}+{x}_{C}}$   ①
设直线的方程为y=kx+1，
与曲线y²=x-3联立，得k²x²+（2k-1）x+4=0．
则x_B+x_C=$\frac{1-2k}{{k}^{2}}$，x_Bx_C=$\frac{4}{{k}^{2}}$
代入①得：x=$\frac{8}{1-2k}$，y=kx+1=$\frac{6k+1}{1-2k}$．
消去k，得x-2y-6=0（x≥3）；
设Q（m，n），
∵A（0，1），D（0，-1），
∴m=$\frac{1}{3}$x，n=$\frac{1}{3}$y，
∴x=3m，y=3n，
代入x-2y-6=0（x≥3），可得m-2n-2=0（m≥1），
∴△DPA的重心Q的轨迹方程x-2y-2=0（x≥1），轨迹为射线．

点评 本题考查了轨迹方程，训练了平面向量在解题中的应用，考查了直线与抛物线的位置关系，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了计算能力，是高考试卷中的压轴题．