Question

16．设函数f（x）=x-ae^x-1（常数a∈R）
（Ⅰ）若f（x）≤0对任意x∈R恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）对任意的n个正实数a₁，a₂，…，a_n，记A=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$，求证：A≥$\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$．

Answer 1

分析 （I）对函数求导，针对于a的值进行讨论，得到函数的单调区间．知道当a≤0时，f（x）≤0不恒成立，又当a＞0时，f（x）在点x=1-lna处取最大值，求出a的范围．
（Ⅱ）若f（x）在定义域内是凸函数，则nf（$\frac{{x}_{1+}{x}_{2}+…{x}_{n}}{n}$）≥f（x₁）+f（x₂）+…f（x_n），由此可得结论．

解答 解：（I）f′（x）=1-ae^x-1，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函数，f（x）≤0不恒成立；
当a＞0时，令f′（x）=0得x=1-lna，
若x＜1-lna，则f′（x）＞0，从而f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数；
若x＞1-lna，则f′（x）＜0，从而f（x）在区间（1-lna，+∞上是减函数．
∴f（x）在点x=1-lna处取最大值，
且f（1-lna）=1-lna-ae^-lna=-lna，
令-lna＜0得a≥1，
故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）；
（Ⅱ）证明：若f（x）在定义域内是凸函数，则nf（$\frac{{x}_{1+}{x}_{2}+…{x}_{n}}{n}$）≥f（x₁）+f（x₂）+…f（x_n）
令f（x）=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数．
∴nlg（$\frac{{a}_{1}+{a}_{2+}..+{a}_{n}}{n}$）≥lga₁+lga₂+lga₃…lga_n=lga₁a₂..a_n．
也即lg（$\frac{{a}_{1}+{a}_{2+}..+{a}_{n}}{n}$）≥$\frac{1}{n}$lga₁a₂..a_n，
所以$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$≥$\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．